纵观数学的发展史，可以发现，计算（数值计算和符号计算等）和证明（包括公式推演）自始至终都是数学活动的两种主要方式。但是，长期以来人们总是把二者孤立起来，看不到它们之间的本质联系。然而，随着计算工具的改进，特别是计算机在数学中功能的扩大，人们越来越发现二者之间事实上有一种很紧密的联系。

人类早期的计算对象都是非常的简单，所以人们完全可以通过屈指计数的办法加以解决。顾名思义，屈指计数是通过屈回或者伸出手指表示事物的个数和累进而达到计数的。很显然，手、手指在这里是作为相当原始的计算工具被使用的。这种计数、计算法几乎在所有的民族中都有记载。从现在大多数语言中数字的表示法也可得到说明∶五用手表示，十用双手表示，有时也用人来表示，而在许多原始的语言中，四以下的数字和四个指头的名称甚至是完全一致的。

没有文字之前，当计算超出屈指计数的范围时，人们就用像卵石、结绳和刻痕等自然物代替手指作为计算工具。但是这些计算工具也渐渐地被淘汰掉了。因为随着人类探索大自然的深入，生产实践的不断发展，计算的复杂度远远地超出了以上计算工具能执行的范围。是算筹、算盘、耐普尔骨筹、计算尺以及各种计算机等计算工具就相应地被发明。

算筹

算筹是中国早期的计算工具，曾经在世界上遥遥领先。它不仅为中国古代数学的发展立下了汗马功劳，而且为世界数学中的机械化思想也做出了巨大的贡献。

同世界上所有的民族一样，中国人的祖先最初也应用结绳、书契进行记（计）数，而后来他们开始借用天然的细木枝（称为"策"）或由竹、木和象牙等制成的小棍儿或小片儿（称为"筹"）以帮助记数和计算。这种借助于"策"或"筹"进行计算的方法，就是早期的筹算。算筹的形状、材料在人们的使用中，出于各种原因一直在不断地变化。

算筹是当时一种方便、先进的计算工具，进行筹算时有两种摆法，一种是纵式，一种是横式：

《夏侯阳算经》中有∶"一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满位以上，五在上方，六不算，五不单张。"就是说用纵式表示个、百、万位，横式表示十、千、十万位…….，空位表示零。如1978可记作∶

例子：

从原理上讲，运用筹算极其方便、直观，但世界上没有十全十美的事物，筹算也有它非常不便的地方。正如二十世纪的电子计算机中存在着软件、硬件的矛盾一样，在算筹这种古老的计算工具中也存在着类似的问题。原因是作为软件的算法发展相对快一些，而作为硬件的筹也一直在改进，但终究是不能赶上算法的进展，特别是由于它不能获得实质性的改变。所以硬件的彻底改革势在必行，算筹终究被方便得多的算盘取代了。

算盘

算盘取代算筹是计算工具发展史上的第一个里程碑，因为它是人类历史上最早使用的机械计算装置。在古代和中世纪的不同地域，出现过许多不同式样的算盘，而以中国的最为先进、轻便。

与算盘对应的计算称为珠算，珠算是由筹算改进而来的。珠算盘的原理与算筹的原理相类似。在珠算盘中，上档每一珠当五，下档每一珠当一，而在筹算中，是上面每一根筹当五，下面每一根筹当一。二者的不同之处在于，当筹算的乘、除中出现某位数字等于十或多于十的情形时，珠算盘采用上二珠下五珠的形式。珠算盘使用起来十分方便，尤其是在熟练掌握了珠算口诀和基本技巧之后，运算速度更是惊人，有珠动则数出之誉。因此，算盘一直是人们生活中便利的计算工具，不但对当时中国的国民经济发展起着有益的作用，就是对世界文明也做出了重大的贡献，因为它后来被传到国外。至今它还是中国和一些亚洲国家的人们日常里重要的计算工具。

到了17世纪，数学及计算工具的发展转移到了西方，且是沿着两条路线，一条是模拟计算机，用长度或大小等一类模拟量表示数字;一条是数字计算机。二者的发展几乎是同步的。

英国数学家巴贝奇（Charles Babbage，1792~1871）在通用数字计算机上的失败，使得人们对数字计算机的研制热情大减。不过不懈努力的人们又开辟了另一条改进计算工具的道路—模拟计算机的研制。模拟机与数字计算机的不同点是，它不是通过数字形式去执行基本运算，而是应用对某种物理量的运算和测定去解决问题。其原理渊源这样一种想法∶ 人们在描述物理对象时，常常要用到数学语言、数学方程;反过来，有些人就想，如果给定一个数学方程，是否会相应地有一种机械装置与其对应?答案是肯定的，因此人们就获得了通过相应的物理量模拟解决数学方程的新方法。

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